刘海涛

记得有一个电影，一个人对另一个人说：即使你藏身于茫茫人海芸芸众生中，我在不远的地方一回头，一眼就能找出你来，因为你是那样的与众不同。同样，在数学的世界中，也存在着这样的一个数字。在整个数字大家庭中，有一个数字是那样的出色，每当提到它，我们就会对它产生如此深刻的关注。更为神奇的是，即使我们不关注它，它仍旧会以一种潜移默化的状态存在于我们的自然界与人类社会中；直到有一天我们在某个地方、某个细节与它邂逅，我们会吃惊地说：原来你也在这里。其实，它一直都在这里，只是我们没有感觉到。

这个闪闪发光的数字就是被尊称为“黄金数”或者“黄金比例”的“j”。它是一个无限不循环小数：j=1.6180339887......

我们无法讨论j的出生，因为自从有了数字就有了j。但我们可以追溯是谁最先发现了j。有记载的历史表明，最早对黄金比例进行明确定义是在公元前300年左右，有几何学归纳法的创始人欧几里德提出。欧几里德从最简单的一根直线出发，确定了一种比例，并把这个比例称之为“极限中间比”，用欧氏的话来说就是：一条直线按所谓极限中间比分割后，这时整条直线和较大部分的比值等于较大部分和较小部分的比值。好简约的描述，却描述了一个神奇又神秘的黄金比例。大道无形，黄金比例j的和谐完美是如此的简约。

但简约不等于简单，谁也不会想到，欧氏出于纯几何目的而提出的简单的直线分割的定义会产生如此广泛的影响。从植物叶子的分布到包含亿万星体的银河系，其中无不存在着黄金比例j，不管是明显的存在还是隐含的存在，j都是那样生生不息地存在着。你与它不期而遇，你可能认出它来，也可能擦肩而过，还有可能对它熟视无睹，但这都是你的感觉和行为。而j却静静地呆在那里，默默地看着这个世界。正是由于j的无所不在，因此黄金比例不仅仅让数学家痴迷，历史学家、生物学家、画家、音乐家，建筑师、心理学家等都被j所深深吸引，都在思考和讨论着它神奇而神秘的魔力，思考着它的普遍性与影响力。

首先，我们来看自然界中的植物：向日葵。如果我们仔细观察向日葵的花冠会发现，向日葵花冠上的小花组成的顺时针和逆时针方向的螺旋线。很显然，小花生长的位置是为了让自己能最有效地分享空间。这些螺旋线的数目通常由向日葵的大小决定。最常见的是34条螺旋线一个方向，55条螺旋线另一个方向。但也有向日葵的螺旋线比为89/55、144/89甚至是233/144。我们仔细分析一下这些比例，它们的比值都近似等于黄金比例1.618。这是巧合吗？如果不是，那为什么这些比例的结果不是别的，而是等于j？

再看一下动物世界中的鹦鹉螺：动物学家们经过观察发现，当鹦鹉螺壳内的身体长大时，它会建成越来越大的外壳，把不用的小壳封起。每次外壳长度的增加都伴随着适当比例半径的增长，所以外壳的形状保持不变。因此，鹦鹉螺一生中都只看到同一个“家”，不需要随着自身的长大进行调整以保持平衡。随着本身的增长，对数螺旋会变得更大，从底部生长出的角上的“圈”之间的距离也随之变大。但具体分析表明，转了相同角度以后，与底部的距离也随着相同的比率增长，这个比率正是黄金比例j。借助显微镜观察发现，这些外壳的形貌完全符合螺旋线形状，而螺旋线形状正是黄金比例j可使人类感知的真实体现，就像向日葵中的所体现的那样。

将我们的视野再扩大，扩大到银河系，我们会发现，螺旋也存在于像银河系那样聚集在同一个平面上的星系里。哈勃望远镜进行的观察显示，在我们能观测到的大约万亿个星系中，许多这种拥有百亿计的像太阳这类恒星的巨大星系，均为螺旋星系。从动植物到星系，j无所不在，真可谓：“一沙一世界”！

来到人文艺术世界，同样可以发现j的无所不在：如萨尔瓦多×达利的绘画作品《最后的晚餐》，这幅画的尺寸约为105.5英寸´65.75英寸，正好符合黄金比例。更特别的是，画中还有一个大的正十二面体（每一个面都是五边形）仿佛在桌面上漂浮、沉没。对于五面体和五角星，几何学早已证明，组成五角星一个角的等腰三角形中较长一边的长度和较短一边的长度的比例就等于黄金比例j。而在音乐方面，最典型的是小提琴了，小提琴的共鸣箱每边有12根或者是更多的弧形曲线，最底部的弓形通常是在这些线条的黄金分割点上。而钢琴中，一个纯粹的音调是由固定频率和固定振幅决定其特点的。用来定音的标准音调是A调，此调每秒震动440次。A调和C调的结合，可得到大调六度音，而每秒振动264次就是C调的频率。高音C调（每秒振动528次）和一个高音E调（每秒振动330次）可生成小调六度音。可以发现，440/264和528/330的比值都非常接近黄金比例j。画家和音乐家在创作的时候，可能并没有考虑到黄金比例j，但形成的作品中往往却与j不期而遇。艺术的历史发展可以说明：在对能够给所有艺术作品赋予美学特质的比例关系，即“完美”比例的奇特规律的长期探索中，黄金比例被证明是最经受得住考验的！

作为材料科学研究者，我们不得不提到准晶体——获得2011年诺贝尔化学奖的20世纪晶体学领域的重大发现。准晶体是具有凸多面体规则外形的，但不同于晶体的固态物质，它们具有晶体物质不具有的五重轴。有关结构问题，人们普遍认为，准晶体存在偏离了晶体的三维周期性结构，因为单调的周期性结构不可能出现五重轴，但准晶体的结构仍有规律，不像非晶态物质那样的近距无序，仍是某种近距有序结构。尽管有关准晶体的组成与结构规律尚未完全阐明，它的发现在理论上已对经典晶体学产生很大冲击，以致国际晶体学联合会建议把晶体定义为衍射图谱呈现明确图案的固体来代替原先的微观空间呈现周期性结构的定义。无疑，准晶体的五重轴和准周期排列又是黄金比例j在和我们开玩笑。

在自然界和人类社会文化中，还有许许多多的例子都证明着黄金比例j的无处不在，只要我们细心观察和思考，总会发现调皮的黄金比例在我们周围和我们开着各种玩笑，提醒我们它的存在。它为什么无处不在，我们很难给出确切的答案，但我们少点思考，而是尽情享受黄金比例带给我们的神秘、和谐和完美不也很好吗？

参考书目：

（美）马里奥×利维奥著，刘军译：《j的故事：解读黄金比例》。长春：长春出版社，2003.8.